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Ableitungen Potenzfunktionen, e-Funktion und ln-Funktion

f(x) = xn => f’(x) = nx n-1


f(x) = ex => f’(x) = ex


f(x) = lnx => f’(x) =

f(x) = sinx => f'(x) = cosx



Ableitungsregeln

Produktregel: f(x) = u(x) v(x) => f’(x) = u’(x).v(x)+ u(x) .v’(x)


Kettenregel: f(x) = u(v(x)) => f’(x) = u’(v(x)) .v’(x)


Quotientenregel: f(x) = => f’(x) =



Tangentengleichung, Tangentensteigung und Normale

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt berührt, also entspricht ihre Steigung der Steigung der Funktion an dieser Stelle.

Bei gegebenem Punkt P(xp /yp) und gegebener f(x) gilt:

t(x) = m(x - xp) +yp, wobei m = f’(xp) ist.


Die Normale im Punkt P ist eine Gerade, die den

Graphen der Funktion f im Punkt P orthogonal

(senkrecht) schneidet. Dabei ist die Steigung der

negative Kehrwert der 1. Ableitung im Punkt P oder

anders ausgedrückt: mt .mn = -1.

mt ist die Steigung der Tangente , also f’(xp)

mn ist die Steigung der Normale. Die Normale geht hier nur zufällig durch den Ursprung.




Mittlere und momentane Änderungsraten

Zeichnet man durch zwei Punkte A(xA, yA) und B(xB/yB) des Graphen einer Funktion f eine Gerade, so erhält man eine Sekante. Die Steigung dieser Sekante gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion im Intervall [xA, xB] an.

m =

Die Ableitung einer Funktion an der Stelle xA ist die momentane Änderungsrate in xA.

m = f’(xA) = lim für xB geht gegen xA.


Schnittwinkel eines Graphen mit der x-Achse bestimmen

Als Schnittwinkel eines Graphen mit der

x-Achse bezeichnet man den Winkel , den

die Tangente in einer Nullstelle xN mit der

x-Achse bildet. Aus dem Steigungsdreieck,

das durch die Tangente gebildet wird, ergibt

sich tan= f'(xN) .








Bei abschnittsweise definierten Funktionen überprüfen können, ob die Übergänge stetig, differenzierbar oder ruckfrei sind

Bei abschnittsweise definierten Funktionen ist der Definitionsbereich unterteilt in zwei oder mehr Intervalle (z. B. von – bis 2 und von 2 bis +) auf denen die Funktion jeweils durch einen anderen Funktionsterm definiert ist. Die Übergänge zwischen den Funktionen können stetig (ohne Sprung), differenzierbar (ohne Knick) oder zweimal differenzierbar (ohne Ruck) sein.

Sei f(x) =

f(x) ist stetig an der Stelle x=2, wenn, g(2) = h(2)

f(x) ist differenzierbar an der Stelle x=2, wenn, g’(2) = h’(2)

f(x) ist zweimal differenzierbar an der Stelle x=2, wenn, g’’(2) = h’’(2)



Graphen auf Symmetrie untersuchen

Achsensymmetrie: f(-x) = f(x)

Für ganz-rationale Funktionen gilt: f ist achsensymmetrisch, wenn nur gerade Exponenten vorkommen.


Punktsymmetrie: f(-x) = - f(x)

Für ganz-rationale Funktionen gilt: f ist punktsymmetrisch, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen.



Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse (Nullstellen)

f(x) = 0

Eine ganz-rationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.

Quadratische und bi-quadratische Gleichungen werden mit der p-q-Formel gelöst,

Gleichungen dritten Grades mit dem Taschenrechner. Bei Gleichungen höheren Grades kann x oder x² oder x³ ausgeklammert werden, dadurch entsteht eine Nullstelle bei xN = 0.



Schnittpunkte zweier Graphen

f(x) = g(x) wird umgeformt zu f(x) – g(x) = 0

Gehe vor wie in 2a), um die Schnittstellen xS zu berechnen. Anschließend darf man nicht vergessen, die y-Werte zu berechnen. Dazu wird xS in f(x) und g(x) eingesetzt, beide male muss dieselbe Zahl herauskommen.



Berührpunkte zweier Graphen

Wenn sich zwei Graphen in einem Punkt P nicht nur

schneiden, sondern berühren, haben sie nicht nur den

Punkt gemeinsam, also f(x P) = g(x P), sondern auch

die Tangenten stimmen in diesem Punkt überein,

also f’(x P) = g’(x P).







Graphen auf Monotonie untersuchen

Der Graph von f ist auf einem Intervall monoton

steigend, wenn f’(x) >0.

Der Graph von f ist auf einem Intervall monoton

fallend, f’(x) < 0 ist.

f(x) = ex ist immer monoton steigend.

f(x) = x² - 4x ist im Intervall [-, 2] monoton fallend

und im Intervall [2,+ ] monoton steigend.





Graphen auf lokale Extrempunkte ( Hochpunkte und Tiefpunkte) untersuchen

Notwenige Bedingung: f’(xE) = 0

Hinreichende Bedingung: f’’(xE) 0

Ist f’’(xE) >0, dann liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

Ist f’’(xE)<0, dann liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

Die zugehörigen y-Werte werden mit f(xE)= yE berechnet.



Graphen auf globale Extrempunkte untersuchen

Ein Maximum (Hochpunkt) heißt global, wenn es von mehreren Maxima das größte ist und auch an den Rändern keine höheren Werte erreicht werden.

Ein Minimum (tiefpunkt) heißt global, wenn es von mehreren Minima das kleinste ist und auch an den Rändern keine niedrigeren Werte erreicht werden.

Funktionen dritten Grades, haben weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum, weil sie an den Rändern sowohl gegen + Unendlich und – Unendlich gehen.



Graphen auf ihr Krümmungsverhalten untersuchen

Der Graph von f ist auf einem Intervall links gekrümmt

steigend, wenn f’’(x) >0.

Der Graph von f ist auf einem Intervall rechts gekrümmt,

f’’(x) < 0 ist.

f(x) = ex ist immer links gekrümmt.

f(x) = x² - 4x ist auch links gekrümmt.







Graphen auf Wendepunkte untersuchen

Notwenige Bedingung: f’’(xW) = 0

Hinreichende Bedingung: f’’’(xW) 0

Die zugehörigen y-Werte werden mit f(xW)= yW berechnet.

Ist f’’’(xW) >0, dann liegt ein rechts/links Wendepunkt vor.

Ist f’’’(xW)<0, dann liegt ein links/rechts Wendepunkt vor.



Graphen auf Sattelpunkte untersuchen

Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagerechter Tangente.


Notwendige Bedingung: f’(xS) = 0

Hinreichende Bedingung: f’’(xS) = 0

Die zugehörigen y-Werte werden mit f(xS)= yS berechnet.






Asymptotischen Verhalten bei e-Funktionen

lim ex = 0 für x gegen - (Die x-Achse ist die Asymptote.)

lim ex = für x gegen +


lim e-x = für x gegen -

lim e-x = 0 für x gegen + (Die x-Achse ist die Asymptote.)


Asymptote heißt eine Funktion, an die sich eine andere Funktion beliebig nah annähert.



Funktionsscharen

Eine Funktionsschar ergibt sich, wenn der Funktionsterm einen Parameter k enthält, für den man verschiedene zahlen einsetzen kann. Man erhält dann nicht nur einen, sondern abhängig von der Einsetzung für den Parameter, verschiedene Graphen. Bei der Untersuchung der Funktionsschar wird der Parameter k so behandelt, als stehe er für eine Zahl. Alle Regeln für Symmetrie, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen etc. sind anzuwenden, wie bei normalen Funktionen.

Taucht der Parameter z.B. unter einer Wurzel auf, muss eine Fallunterscheidung gemacht werden:

xN = , dann gibt es keine Lösung, wenn k<6,

eine Lösung, wenn k=6 ist,

zwei Lösungen, wenn k>6 ist.

Interessant sind immer die Eigenschaften, die alle Vertreter diese Schar gemeinsam haben (unabhängig von k) und andererseits ihre speziellen Unterschiede, die von k abhängig sind.



Ortslinien (Beispiel)

Der Graph, auf dem die Extrempunkte

(Wendepunkte) aller Funktionen der

Schar liegen, heißen Ortslinie der

Extrempunkte oder der Wendepunkte.

Um die Gleichung einer Ortslinie der

Extrempunkte zu ermitteln, bestimmt

man zunächst die vom Parameter k

abhängigen Koordinaten der Extrem-

punkte E(x(k)/y(k)). Dann löst man die

Gleichung x = x(k) nach k auf und setzt

das Ergebnis für k in die

Gleichung y = y(k) ein.



Beispiel:

fk(x) = -2x³ + kx






Ortslinien berechnen

Der Graph, auf dem die Extrempunkte (Wendepunkte) aller Funktionen der Schar liegen, heißen Ortslinie der Extrempunkte oder der Wendepunkte. Um die Gleichung einer Ortslinie der Extrempunkte zu ermitteln, bestimmt man zunächst die vom Parameter k abhängigen Koordinaten der Extrempunkte E(x(k)/y(k)). Dann löst man die Gleichung x = x(k) nach k auf und setzt das Ergebnis für k in die Gleichung y = y(k) ein.




Die sinnvolle Wahl der Koordinatensystems

Bei der Entwicklung eines mathematischen Modells für einen anschaulichen Zusammenhang kann die Festlegung eines Koordinatensystems erforderlich sein, so dass anschließend der Zusammenhang mit geeigneten Funktionen beschrieben werden kann. Dabei müssen drei Entscheidungen getroffen werden:

  1. Lage des Ursprungs

  2. Richtung der Achsen

  3. Skalierung der Achsen



Steckbriefaufgaben

Zur Bestimmung einer ganz-rationalen Funktion f vom Grad n sind n + 1 Bedingungen erforderlich. Diese können in einer Graphik dargestellt, in einem Text beschrieben oder auch schon als Gleichungen formuliert sein.

  1. Stelle den gesuchten Funktionsterm auf, z. B. f(x) = ax³ + bx² + cx +d

  2. Bestimme die Ableitungen

  3. Forme die Bedingungen ( f(2) = 5) zu Gleichungen (8a+4b+2c+d = 5) um.

  4. Löse das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner.

  5. Setze die erhaltenen Lösungen für a, b, c und d ein.

  6. Prüfe, ob die Funktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat.

Falls bekannt ist, dass der gesuchte Graph der Funktion achsen- oder punktsymmetrisch ist, enthält der Funktionsterm nur gerade oder nur ungerade Potenzen von x. Dadurch kann das Gleichungssystem erheblich vereinfacht werden.



e-Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellen

e-Funktionen, mit denen Wachstumsprozesse dargestellt werden können, sind oft vom Typ f(x) = a.ebx. Funktionen diesen Typs sind durch zwei Eigenschaften zum Beispiel zwei Punkte einfach zu bestimmen.

P1(0/3) und P2(5/2)

3 = a.eb0 und 2 = a.eb5

3 = a und 2 = 3.eb5

Die gesuchte Funktion lautet: f(Partielle Integration

x) = 3.e-0,081x. das ist dann allerdings keine Wachstumsfunktion, sondern eine Zerfallsfunktion.



Basics zur e-Funtion

e = 2,71……. Eulersche Zahl

f(x) = ex => f’(x) = ex

e0 = 1; e1 = e; e-1 =

f ist streng monoton steigend.

f hat die x-Achse als Asymptote.

f hat den y-Achsen-Abschnitt 1.

f hat keine Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.

Interessant wird die Funktion erst in Kombination mit

anderen Funktionen.

Produkt:

f(x) = g(x) . ex

f’(x) = (g’(x) + g(x) ) . ex

Kette:

f(x) = eg(x)

f’(x) = g’(x) . eg(x)



Basics zur ln-Funtion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion heißt natürlicher

Logarithmus, kurz ln.

f(x) = lnx => f’(x) =

ln0 = existiert nicht; lne = 1; ln1 = 0

ln ist streng monoton steigend.

ln hat die y-Achse als Asymptote.

ln hat keinen y-Achsen-Abschnitt .

ln hat eine Nullstelle bei x = 1, keine Extremstellen

und keine Wendestellen.






Ein passendes Modell für exponentielles Wachstum aufstellen

Wachstums- und Zerfallsprozesse lassen sich lassen sich durch Exponentialfunktionen beschreiben. Dabei ändert sich der Bestand in gleichen Zeitintervallen immer mit demselben Faktor, d.h. die Änderungsrate ist stets derselbe Anteil des vorhandenen Bestandes.

B(t) = B(0).ekt, dabei ist B(0) der Bestand zum Zeitpunkt t = 0.

Die Zeitdauer, in der sich der Bestand verdoppelt, heißt Verdopplungszeit. Bei einem exponentiellen Zerfall heißt die Zeitdauer, in der sich der Bestand halbiert, Halbwertzeit.

Der Ansatz zur Berechnung der Halbwertzeit ist B(t) = 0,5 B(0),

zur Verdopplungszeit: B(t) = 2 B(0),



Beschränktes exponentielles Wachstum

In der Realität wird es immer eine Grenze

für das Wachstum geben, diese wird als Sättigungsgrenze S (obere Grenze) bezeichnet.

Das beschränkte Wachstum berechnet man mit

B(t) = S + [B(0) – S] . e-kt, dabei ist S

einfach eine zahl für die obere Grenze, die nicht überschritten wird.

Beim beschränkten Wachstum ist die Parallele zur x-Achse mit y = S (Sättigungsgrenze) eine Asymptote für die Wachstumsfunktion.





Logistisches exponentielles Wachstum

Ein Wachstum heißt logistisches Wachstum,

wenn das Wachstum exponentiell von einem

niedrigen Grundwert 0 auf einen höheren

oberen Wert ansteigt.


B(t) =







Extremwertaufgaben

Folgende Schritte sind zu beachten:

  • Alle wichtigen Größen sind zu benennen. Für die Größe, für die ein Extremum (Minimum oder Maximum) zu bestimmen ist, muss eine Gleichung aufgestellt werden. Die durch die Gleichung bestimmte Zielfunktion enthält meistens noch mehrere Variablen.

  • Eine (oder mehrere) Nebenbedingungen werden aufgestellt, um die überzähligen Variablen durch Terme so zu ersetzen, dass nur noch eine Variable in der Zielfunktion übrig bleibt.

  • Von der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängig ist, wird die 1. Ableitung gebildet, und die Extremstellen bestimmt und die zugehörigen Funktionswerte berechnet.

  • Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, müssen auch die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs berechnet und mit den Funktionswerten der lokalen Extremstellen verglichen werden.

  • Dann müssen noch alle weiteren in der Aufgabe auftreten Variablen berechnet werden, um eine vollständige Antwort zu geben.



Stammfunktionen

Jede differenzierbare Funktion mit F’(x) = f(x) heißt Stammfunktion von f.

Grundregeln:

f(x) = axn => F(x) = +c

f(x) = ex => F(x) = ex


f(x) = lnx => F(x) = x.lnx -x



Integralfunktionen

Die Funktion Ia(x) = = F(x) – F(a) heißt Integralfunktion von f
mit der unteren Grenze a.


Ist x ebenfalls begrenzt, können die Flächen zwischen der x-Achse, dem Graphen der Funktion und den Grenzen berechnet werden.

A = = F(b) – F(a)

Liegt der Flächeninhalt unterhalb der x-Achse, muss mit Beträgen gerechnet werden.

A = = IF(b) – F(a)I

Wird der Flächeninhalt von einer (oder mehreren Nullstellen) unterbrochen, muss die Integration ebenfalls unterbrochen werden. Sonst wird die Flächenbilanz berechnet.



Flächen zwischen zwei Funktionen

Die Fläche zwischen zwei Funktionen wird berechnet mit der Formel

A = = IF(b)-G(b) – (F(a)-G(t))I


Wird der Flächeninhalt von einer (oder mehreren Nullstellen) unterbrochen, muss die Integration ebenfalls unterbrochen werden. Sonst wird die Flächenbilanz berechnet.



Mittelwerte von Größen mit Hilfe der Integralrechnung

Der Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion auf dem Intervall von a bis b wird berechnet mit der Formel:

m = =



Gesamtänderungen oder absolute Änderungen aus den momentanen Änderungsraten berechnen

Oft wird die Funktion der Änderungsraten als Funktion f(x) gegeben, gesucht sind dann die absoluten Änderungen, also F(x). Besonders achten muss man auch auf die Bedeutungsverschiebung von Extremstellen und Wendestellen.

f(x) = 0: Nullstellen von f sind Extremstellen von F(x)

f’(x) = 0: Extremstellen von f sind Wendestellen von F(x)

Beispiel: f(x) = Geschwindigkeit F(x) = zurückgelegte Strecke



Uneigentliche Integrale

Nähert sich eine Funktion immer mehr der x-Achse an, Asymptote, kann auch das Integral auf dem Intervall [a, [ oder ]- , a] berechnet werden. Es muss nicht immer ein begrenzter Flächeninhalt existieren. Das hängt davon ab, wie schnell sich die Funktion der x-Achse nähert.

A = = lim f(x) –F(a) für x gegen Unendlich oder

A = = F(a) - lim f(x) für x gegen – Unendlich.



Das Volumen von Rotationskörpern berechnen

Rotiert der Graph einer Funktion f über dem Intervall von a bis b um die x-Achse, so entsteht dein Rotationskörper mit dem Volumen V = . Steht auch in der Formelsammlung.



Partielle Integration

Aus der Produktregel der Differentialrechnung folgt:

= - (siehe Formelsammlung)

u und v müssen so gewählt werden, dass das 2. Integral einfacher zu lösen ist. Manchmal muss die sogar zweimal angewendet werden, um das Integral zu knacken.



Integration durch Substitution

Aus der Kettenregel der Differentialrechnung folgt:

= (siehe Formelsammlung)

Punkte, Vektoren, Vektorketten, Addition, Subtraktion

Punkte im Raum werden durch drei Koordinaten dargestellt: P(xP/yP/zP) .

Vektoren im Raum werden durch drei Komponenten dargestellt: .

Der Vektor kann interpretiert werden als Ortsvektor des Punktes P (x/y/z), als Pfeil vom Ursprung zum Punkt P. Aber auch als Pfeil mit dieser Richtung irgendwo im Raum abgetragen werden. Vektoren haben eine Richtung, eine Orientierung und eine Länge. Die Richtung ist vergleichbar mit der Steigung in der 2-dim Ebene, die Orientierung wird durch die Pfeilspitze angegeben und die Länge über die Formel berechnet.

Die Addition von Vektoren erfolgt geometrisch betrachtet durch Anhängen des zweiten Vektors an den ersten Vektor. Rechnerisch werden einfach die Komponenten addiert.

Die Subtraktion von Vektoren erfolgt geometrisch betrachtet durch die Verbindung der zweiten Pfeilspitze zur ersten Pfeilspitze. Rechnerisch werden einfach die Komponenten subtrahiert.

Der Mittelpunkt einer Strecke AB wird berechnet mit .




Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl.

= u1v1 + u2v2 + u3v3 . Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist = 0, wenn der Winkel zwischen den Vektoren = 90° ist (oder die Vektoren senkrecht aufeinander stehen oder zu einander orthogonal sind).

Kollinearität und Komplanarität

Zwei Vektoren heißen kollinear oder linear abhängig, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist: .

Zwei Vektoren heißen nicht kollinear oder linear unabhängig, wenn der eine Vektor nicht ein Vielfaches des anderen Vektors ist: .

Drei Vektoren heißen komplanar oder linear abhängig, wenn der eine Vektor sich als Summe von Vielfachen der anderen Vektoren darstellen lässt: .

Drei Vektoren heißen nicht komplanar oder linear unabhängig, wenn der eine Vektor sich nicht als Summe von Vielfachen der anderen Vektoren darstellen lässt: .



Parameterdarstellung der Geraden aus zwei gegebenen Punkten

Gegeben sind die Punkte A und B, dann ist

g: die gesuchte Geradengleichung.

Dabei heißt Ortsvektor (oder Stützvektor)

von g und Richtungsvektor von g. r ist

der Parameter der Geradengleichung und für

jedes r , dass in die Geradengleichung

eingesetzt wird, erhält man einen Punkte

auf der Geraden.



Punktprobe: Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Geraden g, wenn seine Koordinaten die Parameterdarstellung der Geraden erfüllen, also wenn es ein r gibt, so dass alle drei Gleichungen erfüllt werden.



Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen

Zwei Geraden im Raum können entweder (1) identisch sein, (2) parallel zueinander sein, (3) einen Schnittpunkt haben oder (4) windschief sein.

  1. Zwei Geraden sind identisch, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind und der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt.

  2. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind und der Ortsvektor der einen Geraden nicht auf der anderen Geraden liegt.

  3. Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt S, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen (Achtung mit unterschiedlichen Parametern!) eine Lösung für die Parameter ergibt. Setzt man die Parameter wieder in die Geradengleichung ein, erhält man den Schnittpunkt S.

  4. Zwei Geraden sind windschief, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen keine Lösung für die Parameter ergibt.



Parameterdarstellung der Ebene aus drei gegebenen Punkten

Gegeben sind die Punkte A, B und C dann ist

E: die gesuchte

Ebenengleichung.

Dabei heißt Ortsvektor (oder Stützvektor)

von E und und sind die Richtungs-

vektoren von E. r und s sind die

Parameter der Ebenengleichung und für

jedes r und s, dass man in die Ebenengleichung

einsetzt, erhält man einen Punkt auf der Ebene.



Punktprobe: Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Ebene E, wenn seine Koordinaten die Parameterdarstellung der Ebene erfüllen, also wenn es ein r und ein s gibt, so dass alle drei Gleichungen erfüllt werden.



Koordinatenform der Ebenengleichung

Eine Ebene im Raum kann beschrieben werden durch eine Parameterdarstellung der Ebene der Form E: oder durch eine Koordinatengleichung der Form
E: ax + by + cz = d.

Bei der Parameterform wird beschrieben, wie man von einem Punkt (Ortsvektor) A der Ebene mithilfe einer Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene zu einem beliebigen Punkt der Ebene kommt.

An der Koordinatenform kann man unmittelbar der Normalenvektor der Ebene ablesen. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Außerdem gilt: Abstand der Ebene vom Ursprung.



Spurpunkte und Spurgeraden

Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene

mit den Koordinatensachsen.

Mit der Koordinatenform lassen sie sich ganz einfach

ermitteln: Sx=(d/a;0;0), Sy=(0;d/b;0) und Sy=(0;0; d/c),

dabei ist Sx der Schnittpunkt der Ebene mit der

x-Achse.

Die Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer

Ebene mit den Koordinatenebenen.







Koordinatenachsen und Koordinatenebene

Die Koordinatenachsen sind spezielle Geraden, sie gehen durch den Ursprung (0/0/0) und haben sehr einfache Richtungsvektoren.

x-Achse: g: , y-Achse: g: , z-Achse: g:


Die Koordinatenebene sind spezielle Ebenen, sie gehen durch den Ursprung und haben ganz einfache Koordinatenformen.

x-y-Ebene: z=0, y-z-Ebene: x = 0 , x-z-Ebene: y=0




Lagebeziehung Gerade - Ebene

Eine Gerade im Raum kann zu einer Ebene parallel verlaufen(1), sie kann die Ebene schneiden (2) oder in der Ebene liegen (3). Ist die Ebene in Parameterform gegeben, setzt man die Ebene und die Gerade gleich.

  1. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, verläuft die Gerade parallel zur Ebene.

  2. Hat das Gleichungssystem eine Lösung, gibt es einen Schnittpunkt, den man berechnen kann, indem man die Parameter in die Geraden- oder Ebenengleichung einsetzt.

  3. Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in der Ebene.


Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, wird die Gerade in drei Gleichungen
x = …, y = …und z = …umgeformt und für x, y und z in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt. Es entsteht eine Gleichung mit einem Parameter.

  1. Hat die Gleichung keine Lösung, verläuft die Gerade parallel zur Ebene.

  2. Hat die Gleichung eine Lösung, gibt es einen Schnittpunkt, den man berechnen kann, indem man den Parameter in die Geradengleichung einsetzt.

  3. Hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in der Ebene.



Lagebeziehung Ebene - Ebene

Eine Ebene im Raum kann zu einer Ebene parallel verlaufen(1), sie kann die Ebene schneiden (2) oder die Ebenen können gleich sein (3). Sind die Ebenen in Parameterform gegeben, setzt man die Ebenen gleich. Es entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Parametern. Forme das Gleichungssystem so um, dass ein Parameter durch den anderen Parameter derselben Ebene ersetzt wird.

  1. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, verlaufen die Ebenen parallel.

  2. Hat das Gleichungssystem eine Lösung, gibt es eine Schnittgerade, die man berechnen kann, indem man den einen Parameter durch den anderen Parameter in der Ebenengleichung einsetzt.

  3. Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, sind die Ebenen gleich.


Sind die Ebene in Koordinatenform gegeben, gibt es zwei Gleichungen mit drei Parametern.

  1. Sind die Normalenvektoren ein Vielfaches voneinander, verlaufen die Ebenen parallel zueinander.

  2. Lassen sich x=… y= … und z = … durch jeweils einen Parameter ersetzen, entsteht die Gleichung der Schnittgeraden.

  3. Sind die beiden Gleichungen ein Vielfaches von einander, sind die Ebenen gleich.


Lotgerade und Fußpunkt

Gegeben sind ein Punkt P(x/y/z) und eine Ebene in Koordinatenform: E. ax + by + cz = d.

Eine Lotgerade l vom Punkt P auf die Ebene kann beschrieben werden durch:

g:
Diese Gerade geht durch den Punkt P und steht senkrecht auf der Ebene E.

Um den Fußpunkt F des Lotes zu berechnen, muss man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen.



Die Koordinaten eines an einer Ebene gespiegelten Punktes bestimmen.

Gegeben sind ein Punkt P(x/y/z) und eine Ebene in

Koordinatenform: E. ax + by + cz = d.

Eine Lotgerade l vom Punkt P auf die Ebene kann

beschrieben werden durch:

l:

Diese Gerade geht durch den Punkt P und steht

senkrecht auf der Ebene E.

Um den Fußpunkt F des Lotes zu berechnen, muss

man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen.

Ist , so ist P’ = der gesuchte gespiegelte Punkt.



Abstand Ebene - Ebene

Der Abstand zweier Ebenen kann nur

berechnet werden, wenn sie parallel sind.

Man wählt einen Punkt P auf der einen

Ebene aus und stellt die Lotgerade auf (E11)

Diese schneidet man mit der zweiten Ebene

und erhält den Punkt S und der Abstand

der beiden Punkte P und S ist der

Abstand der Ebenen zueinander.








Abstand Ebene - Gerade

Der Abstand einer Geraden g zu einer Ebene E kann nur berechnet werden, wenn die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft. Man wählt einen Richtungsvektor der Ebene E, der nicht kollinear zum Richtungsvektor der Geraden g ist und addiert ihn mit einem Parameter versehen zu der Geradengleichung. So erhält man eine Hilfsebene, in der die Gerade g liegt und die parallel zur Ebene E verläuft. Nun verfährt man in E13.



Abstand Ebene - Punkt

Der Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E wird berechnet, indem man die Lotgerade durch P zu E aufstellt: l: , dabei ist der Richtungsvektor von l der Normalenvektor der Ebene. Man berechnet den Schnittpunkt S der Lotgeraden mit der Ebene und den Abstand von P zu S. Das ist der gesuchte Abstand.



Abstand zweier windschiefer Geraden

Aus den Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h und dem Ortsvektor der Geraden g stellt man die Hilfsebene E auf, die g ganz enthält und zu h parallel verläuft. Weiter mit E14.



Abstand Punkt – Gerade

Der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden wird berechnet, indem man de Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor einer Ebene ansieht, die durch den Punkt P geht. Man berechnet den Schnittpunkt S der Geraden mit der Ebene und den Abstand von P zu S. Das ist der gesuchte Abstand.



Winkel zwischen zwei Vektoren


Die Formel lautet: , cos= 0 genau dann, wenn = 90°.



Winkel zwischen zwei Geraden

In die Formel E18 werden die Richtungsvektoren der Geraden eingesetzt. Dabei soll das Ergebnis kleiner las 90° sein, also muss der Winkel gegebenenfalls von 180° abgezogen werden.



Winkel zwischen zwei Ebenen

In die Formel E18 werden die Normalenvektoren der Ebenen eingesetzt. Dabei soll das Ergebnis kleiner las 90° sein, also muss der Winkel gegebenenfalls von 180° abgezogen werden.



Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

In die Formel E18 wird der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektoren der Ebenen eingesetzt.



Flächeninhalte von Dreiecken berechnen

A = Dabei muss die Länge der Grundseite und die Höhe bestimmt werden.



Volumen einer Pyramide

V = Dabei muss die Grundfläche und die Höhe bestimmt werden.



Nachweis, dass vier Punkte in einer Ebene liegen und ein Rechteck bilden

Entweder stellt man die Ebene durch drei Punke auf und weist nach, dass der vierte Punkt in dieser Ebene Liegt (Punktprobe) oder man weist nach, dass sich die Diagonalen schneiden, sind sie windschief das das Viereck nicht eben. Für ein Rechteck, müssen die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sein und ein Winkel muss rechtwinklig sein.



Licht und Schatten

Lichtstrahlen sind entweder parallel (Sonnenlicht) oder gebündelt (Laterne). Der Schattenpunkt P’ eines Punktes P wird bei Sonnenlicht berechnet als Schnittpunkt der Geraden g: mit der Ebene, in die der Schatten fällt. Der Schattenpunkt P’ eines Punktes P wird bei Laternenlicht L berechnet als Schnittpunkt der Geraden g: mit der Ebene, in die der Schatten fällt.



Produktionsprozesse (Jeans)

Mit Hilfe von Matrizen lässt sich der Ablauf einer Produktion beschreiben, bei der aus unterschiedlichen Teilen unterschiedliche Produkte hergestellt werden, die von verschiedenen Käufern ín unterschiedlichen Stückzahlen bestellt werden.



Entwicklungsprozesse (Tierpopulationen)

Man betrachtet eine Population von Individuen in verschiedenen Entwicklungsstadien, die mit gewissen Überlebens- und Reproduktionswahrscheinlichkeiten, die nächste Entwicklungsstufe erreichen.



Zufallsprozesse (Mensaessen)

Die Zustände eines Systems werden mit Hilfe von Zustandsvektoren (Spalten) beschrieben, die die Wahrscheinlichkeiten im Wechselverhalten darstellen. Da die Zufallsvektoren eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben, ist die Summe der Spaltenvektoren in einer Übergangsmatrix immer 1.



Matrizenelemente, Addition und Subtraktion

Die Matrix heißt mxn-Matrix, wenn die m Zeilen und n Spalten hat.

Ist m = n, so heißt die Matrix quadratisch.

Das Element aij ist das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalten (Zeilen zuerst, Spalten später).

Eine m x n-Matrix A kann nur mit einer m x n-Matrix B addiert oder subtrahiert werden.

A + B = C. C ist dann auch wieder eine m x n-Matrix. Dabei werden alle Elemente, an der entsprechenden Stelle addiert oder subtrahiert. Also: aij + bij = cij



Multiplikation von Matrizen

Eine mxn-Matrix A kann nur mit einer nxp-Matrix B multipliziert werden. Das Ergebnis ist dann ein mxp-Matrix C. Für das Element cij muss die i-te Zeile mit der j-ten Spalte multipliziert werden und die Produkte müssen addiert werden.



Potenzieren von Matrizen

Nur quadratische Matrizen können mit sich selbst multipliziert werden. Nur quadratische Matrizen besitzen eine inverse Matrix.



Zustände von Prozessen nach wiederholter Durchführung berechnen

Wird ein Prozess durch eine Matrix beschrieben, dann erhält man aus dem Ausgangsvektor (Bestandsvektor) durch Multiplizieren mit der Matrix den Vektor des zeitlich folgenden Zustands. Durch wiederholte Multiplikation erhält man die darauf folgenden Zustände.

; ; usw. oder

Gilt für irgendeine Potenz der Matrix: (Einheitsmatrix) dann wird durch die Übergangsmatrix ein zyklischer Prozess der Dauer n Zeiteinheiten beschrieben. n = 3 heißt also nach drei Jahren (Monaten, Tagen, Stunden, Minuten, Sekunden, Generationen,…) wieder holt sich der Prozess erneut.



Zustände von Prozessen nach wiederholter Durchführung berechnen

Wird ein Prozess durch eine Matrix beschrieben, dann erhält man aus dem Ausgangsvektor (Bestandsvektor) durch Multiplizieren mit der Matrix den Vektor des zeitlich folgenden Zustands. Durch wiederholte Multiplikation erhält man die darauf folgenden Zustände.

; ; usw. oder

Gilt für irgendeine Potenz der Matrix: (Einheitsmatrix) dann wird durch die Übergangsmatrix ein zyklischer Prozess der Dauer n Zeiteinheiten beschrieben. n = 3 heißt also nach drei Jahren (Monaten, Tagen, Stunden, Minuten, Sekunden, Generationen,…) wieder holt sich der Prozess erneut.


Zeitlich zurückliegende Zustände berechnen

Wird ein Prozess durch eine Matrix beschrieben, dann erhält man aus dem Ausgangsvektor (Bestandsvektor) auch den Vektor des zeitlich vorhergehenden Zustands.

. Dazu muss man ein lineares Gleichungssystem lösen.



Den Fixvektor einer Übergangsmatrix bestimmen

Der Fixvektor einer Übergangsmatrix bleibt durch Multiplikation mit der Matrix unverändert.

. Man bezeichnet auch als stationäre Verteilung des Zufallsprozesses.

Außerdem gilt: Wenn in der Matrix M oder in einer ihrer Potenzen nur positive Zahlen vorkommen, dann gibt es eine Grenzmatrix, deren Spalten alle dem Fixvektor entsprechen. Aus der Grenzmatrix können langfristige Prozesse abgelesen werden. Zum Beispiel, ob eine Entwicklung einen der Beteiligten dauerhaft begünstigt oder benachteiligt.




Das war’s! Mehr ist es doch gar nicht!